复数(complex number) 是一个比实数(real number)的集合(set)，既包含了实数，也包含了虚数(imaginary number)。

这是我们最常见的表达式，其中和是实数()，属于虚数单位，则是属于复数()，我们可以这样表达，

复数的倒数

共轭复数

每一个复数都有一个共轭复数(complex conjugate)，共轭复数是对复数虚部的符号取反的结果。在几何学中，我们可以将共轭复数看作复数对实轴(real axis) 的反射(reflection)。

的共轭复数是

就是复数的模。几何意义中，它表达了在复平面中，从原点(origin) 到复数位置的距离。模，其实就是简单的畢氏定理的应用。由于共轭复数只不过是复数的反射，因此距离一样，二者模相等。

辐角(argument) 是复数向量与实轴间的夹角，它的范围在，

注意这里是，而不是，因为我们不希望能够用不同的数字表达同样的位置

由于角度是之中周期性的指标，因此每一个辐角实际上都可以看作辐角主值(principal argument) 的周期结果，如

我们也会这样表达

除了使用基本的笛卡尔坐标系，我们还可以使用极坐标(polar coordinate)来表达复数

根据欧拉公式，，i.e. 复平面中一个在原点的 unit circle。那么我们便可以很容易地推出，圆心在复平面中任何点的圆的轨迹(locus)，

=圆心，r=半径

正确的证明方式应该是数学归纳法，但这里就不作详记，而是用简单的欧拉公式推导

因为欧拉公式的证明过程中使用了棣莫弗公式，因此以下的公式只能是推导，而非严谨的证明

对于，有个解

一个直观的理解方式是，

我们之前提到过可以被看做是的表达形式，那么我们可以理解为将一个完整的圆分成份，也就是。那么自然有个答案，至于重叠的部分，基于和的特性答案会与上个周期的答案一致，因此只有个答案。

比较数学的理解方式是，

当，是与时一样的，

当，是与时一样的，

因此，当，答案会重复，所以

注意，我们需要时刻保持答案中的辐角在的范围中，因此当辐角超过这个范围时，我们需要将其转写为的形式，再化简