复变函数

基本概念——函数

函数是将两个集合中的成员映射(mapping) 起来。便是一个函数，其中 是自变量(independent variable) 也是定义域(domain)。我们又是会将函数写成 ，便是因变量(dependent variable) 也是值域(range)。

实数的实数函数

将一个标量映射到另一个标量，如

实数的复变函数

实数的复变函数，可以被参数化地(parametrically)写作

对于一个圆形的非参数化函数，可以运用 的特性，如果圆心在点 ，

但是对于一些复杂的函数，我们很难用非参数化的方式表达，因为虚部的存在，让公式难以画上等号(普通标量无法变成虚数)，因此参数化的公式就尤为重要。

特性

如果 , 是连续的(continuous)，那 便是连续的(continuous)

• and

如果 是连续的， 便是平滑的(smooth)，例如圆形

• and 是连续的
• and

如果 是连续的但有有限的部分不连续，便是分段平滑(piecewise smooth)

线长

对于一条普通的曲线 ，计算其线长，其实是将线分为无限小的线段加起来，公式为

而对于复数函数而言，其实也是类似的，我们有 ，

复数的复数函数

，只是将两个二维的平面映射起来，并不会令维度上升

复指数函数 (complex exponential function)

以图的方式理解复指数函数

• 水平线 (Horizontal lines)

复指数函数

由于 因此(0,0) 是永远到不了的点

• 垂直线 (Vertical lines)

complexExponential

推导欧拉公式

记，

泰勒级数 (Taylor series)，

证，

复数三角函数

用 欧拉公式表示，

用欧拉公式表示，

用欧拉公式表示，

复数双曲函数

关于双曲函数的可以看这篇 双曲函数

复数双曲函数和三角函数

复数 Logarithmic 函数

在复数中，我们知道，因此 是个拥有无数解的函数，因为

因此和计算辐角主值(Arg)一样，我们用 计算 的主值

而 也可以写作，

复数的幂次方 (General power of complex number)

当

当

当 ，

与复数中的 复数的n次方根一样，上述的函数会出现 m 个不同的答案，超出的则会重复

参考

• lecture slide
• Sine and cosine - Wikipedia