力矩(Moment of a Force)

力矩(moment / torque) 是描述力对于物体在某个点或者某个轴的旋转的趋势。力矩是一个向量，他的大小(magnitude) 计算如下，

d = 力臂(力作用点与旋转中心或旋转轴的垂直距离，F = 力的大小(magnitude)

力矩的向量方向总垂直于包含力和力臂的平面，而力矩也具有旋转方向，包括顺时针和逆时针的区别

对于这样一个图，为什么会同时有两种描述的方式呢？既可以有旋转的方向，又有向量的表达方式。其实是观察方式的不同，旋转的方向会因为观察的方向不同而产生两个相反的结果，但是对于向量的描述方式却是唯一的，因此当我们在表达力矩时，向量的表达方式不会产生误解，而旋转方向可以让我们通过右手定则，知道力矩向量的方向。

力矩合力

只要是同一方向的力矩便可以相加，反之相减。

力矩的计算

在前面，我们提到了力矩是一个向量，但是我们只谈到了如何找到力矩的大小，而力矩的向量计算是通过叉积(cross product)找到的

当我们要实际分析一个问题的时候，我们需要将力矩拆分成不同的分量，以方便我们的计算。

当我们要计算力矩在 y 轴上分力时，我们可以使用点积(dot product) 的概念找到在 y 轴的大小

下面是一条普适的公式，

是希望得到的方向的单位向量(unit vector)

力偶(couple moment)

力偶是指两个平行并且大小一样，方向相反的向量，他们不会令物体位移，而只是产生某方向的旋转

他们可以被看做一个力矩来计算

标量计算(scalar)：
向量计算(Vector)：，我们可以简单把力偶看作两个不同的力矩向量相加

等效系统(Equivalent System)

为了方便计算，我们可以通过对力向量的操作，来找到一个简化的等效系统。等效系统需保证，外部的影响(external effects) 是与未简化时是一样的，公式如下

力的方向与力臂共线

我们称这种平移的向量为 滑移向量(sliding vector) ，这种移动不会改变系统的结构。

力的方向与力臂不同

这种情况下，我们需要移动力向量时，需要额外考虑力矩的影响。为此我们要添加一组力偶，帮助维持系统的结构。可以理解为将向量的 旋转影响 和 平移影响 分开。

再次简化

在力的方向与力臂共线和力的方向与力臂不同中，我们的目的是将力的作用点整合到一起

当我们经过上述的简化后会得到，一个力向量，和一个力矩向量，它们互相垂直，那么此时我们可以通过移动力向量来达到力矩向量的旋转效果，继而替代力矩向量的存在，移动的距离通过以下公式得到

简单荷载 (Distributed Loading)

当两个物体间的接触面大于一个点时，我们就不可以简单的将某个点当成力的作用点。而是需要用到，重心的概念。事实上，物体面施加给另一个物体的力是该面积的所有点的力的总和。即

这个公式是我自己的理解不一定对

而重心或者说质心的位置就是的作用位置，也就是只要有重心和，我们就可以将其当作一个点计算。重心的位置也包含了对于物体力矩的考量。

重心的位置 = 质心的位置，因为，其中是常数，不影响计算。

在二维图像中，我们通常可以将重心的位置当作几何中心或面积的中心

三角形重心

对于三角形的面积，我们有以下和的关系

通用公式

而当一个物体压在一个曲面上时，施加的力便不能靠简单的乘除计算，而是需要用到积分。我们知道压力(pressure 单位：Pascals) 表达了力作用在一点的大小。

而对于重量，水压这种分布的载荷对于整个面积的。如果一个曲面的宽度的常数，那么重量(weight)，可以通过对压力乘以宽度 得到。这样我们便可以用二维的积分得到整个曲面的荷载。

曲面图

对于每个微小的，

然后我们就可以得到合力，或者说作用在整个平面的压力

不仅仅是合力，我们也可以找到 力矩合力

假设作用在，上面的公式可以简化为

对任何图形而言，以下公式成立

如何寻找重心

在静止物体中，我们可以通过将合力除以力矩得到重心距离某一点的距离

参考

lecture slide
Russell C. Hibbeler，ENGINEERING MECHANICS STATICS(12th Edition)

Bin

合力系统(Force System Resultants)